Задача к ЕГЭ на тему «Уравнения в целых числах» №5

Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$ , удовлетворяющие равенству

--- ab = ab + 23

В левой части равенства стоит число, получаемое приписыванием десятичной записи числа $a$ перед десятичной записью числа $b$ .

Пусть $k$ – количество знаков числа $b$ . Тогда уравнение можно переписать в виде:

a ⋅ 10k + b = ab + 23

Рассмотрим случаи:

1) Пусть $a = 1$ . Тогда уравнение примет вид:

10k + b = 1 + 23 ⇔ 10k = 24 − b

Так как $b$ – натуральное число, то $24 − b ≤ 23$ . Так как $k$ – натуральное число, то $k 10 ≥ 10$ . Следовательно, полученное уравнение может иметь решения, если обе части равны $10$ . Тогда $k = 1$ , а $b = 14$ . Получили противоречие (в числе $14$ два знака).

2) Пусть $b = 1$ . Тогда $k = 1$ . Тогда уравнение примет вид:

10a + 1 = a + 23 ⇔ 9a = 22

Данное уравнение не имеет целого решения.

3) Пусть $a ≥ 2$ и $9 ≥ b ≥ 2$ , то есть $k = 1$ . Тогда:

10a + b = ab + 23 ⇔ a(10 − ab−1) = 23 − b

Если $b = 2$ , то уравнение примет вид

2 a − 10a + 21 = 0

Откуда получаем $a = 3$ и $a = 7$ . Следовательно, пары решений: $a = 3,b = 2$ и $a = 7,b = 2$ .
Если $b = 3$ , то уравнение примет вид

2 a(10 − a ) = 20 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 1

Данное уравнение нужно решить в натуральных числах. Число $a$ может быть равно лишь $2$ (иначе выражение в скобках будет отрицательным), но $a = 2$ не подходит.
Если $b = 4$ , то уравнение примет вид

3 a (10 − a ) = 19

Очевидно, оно также не имеет решения в натуральных числах.
Рассмотрим уравнение при $5 ≤ b ≤ 9$ :

a(10 − ab− 1) = 23 − b

Тогда $14 ≤ 23 − b ≤ 18$ , а $b−1 5− 1 10 − a < 10 − 2 = − 6$ , то есть левая часть отрицательна, а правая – положительна. Следовательно, решений нет.

4) Докажем, что уравнение не имеет решений ни при каких $a$ и $b$ так, что $a ≥ 2$ , $b ≥ 10$ , $k ≥ 2$ .
Заметим, что для произвольного $k$ можно сказать, что $k− 1 k 10 ≤ b < 10$ .

ab + 23 = 10ka + b

Предположим, что уравнение имеет решения.

$b b b−1 b−1 a + 23 > a = a ⋅ a ≥ 2 ⋅ a » class=»math» width=»auto»><br class=$
$10ka + b < 10ka + 10ka = 2a ⋅ 10k$

Следовательно, должно быть выполнено: