Задача к ЕГЭ на тему «Уравнения в целых числах» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите уравнение

x2 + 8y = 32

в целых числах.

Так как в равенстве

x2 + 8y = 32

все слагаемые, кроме первого, делятся на $8$ , то и первое слагаемое должно делиться на $8$ .

Докажем от противного, что если $x2...8$ при целом $x$ , то $x...4$ :
Пусть $x$ не делится на $4$ . Если $x$ не делится на $2$ , то $x2$ не делится на $2$ , что неверно. Если $x$ делится на $2$ , то $x = 2y$ , где $y$ – целое нечётное, тогда $2 2 x = 4y$ , но $2 y$ – нечётное, следовательно, $2 x$ не делится на $8$ – противоречие.

Таким образом, $x$ во всех решениях имеет вид $x = 4k$ , где $k$ – целое. Но все ли $x$ вида $x = 4k$ подходят? Выразим $y$ при условии $x = 4k$ :

16k2 + 8y = 32 ⇔ y = 4 − 2k2

– целое при $k ∈ ℤ$ , следовательно, решениями уравнения являются всевозможные пары вида $(4k;4 − 2k2 )$ , $k ∈ ℤ$ .

Уравнения в целых числах