Задача к ЕГЭ на тему «Уравнения, решаемые различными методами» №9

Просмотров 5 Комментарии 0

Решить уравнение

2 --x--- --x---- x − 4 + 2 ⋅ x2 − 4 + 3 = 0

(Задача от подписчиков)

1 способ.

x2 2x x2 + x − 4 x + x2 − 4 ------+ 1 + -2-----+ 2 = 0 ⇔ -----------+ 2 ⋅---2-------= 0 ⇔ x − 4 x − 4 x − 4 x − 4

( ⌊ 2 ( ) ||{ x + x − 4 = 0 ⇔ (x2 + x − 4) ⋅ --1---+ ---2--- = 0 ⇔ ⌈ 2 ⇔ x − 4 x2 − 4 || x − 4 + 2x − 8 = 0 ( (x2 − 4)(x − 4) ⁄= 0

( ⌊ √ --- |||| x = −-1 ±---17 ⌊ √--- ||| || 2 −-1 ±--17- { ⌈ √--- |x = 2 ⇔ | x = − 1 ± 13 ⇔ |⌈ ||| √ --- ||| x ⁄= ±2 x = − 1 ± 13 ( x ⁄= 4

2 способ.
Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на $x$ , так как $x = 0$ не является корнем уравнения:

x 1 ----4-+ 2 ⋅----4-+ 3 = 0 1 − x x − x

Пусть $4 x- = b$ . Тогда уравнение примет вид

2 2 --x-- + --2---+ 3 = 0 ⇔ x-+--3b-−-4bx-−--5b +-3x-+-2 = 0 1 − b x − b (1 − b)(x − b)

Рассмотрим числитель дроби:

(x2 + 4b2 + 1 − 4bx + 2x − 4b) − b2 + (x − b + 1) = 0 ⇔ (x − 2b + 1)2 − b2 + (x − b + 1) = 0 ⇔ ⇔ (x − 2b + 1 − b)(x − 2b + 1 + b) + (x − b + 1) = 0 ⇔ (x − b + 1)(x − 3b + 2) = 0

Следовательно, исходное уравнение равносильно:

( [ ||| x − b + 1 = 0 |{ x − 3b + 2 = 0 ||| 1 − b ⁄= 0 |( x − b ⁄= 0

Решим первое уравнение, сделав обратную подстановку $4 = b x$ :

√ --- 4- 2 −-1-±---17 1. x − x + 1 = 0 ⇔ x + x − 4 = 0 ⇔ x = 2

Решим второе уравнение:

4 √ --- x − 3 ⋅--+ 2 = 0 ⇔ x2 + 2x − 12 = 0 ⇔ x = − 1 ± 13 x

Сделав проверку, убеждаемся, что полученные корни не являются корнями уравнений $1 − 4x = 0$ и $4 x − --= 0 x$ .