Задача к ЕГЭ на тему «Уравнения, решаемые различными методами» №8

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

( ) ( ) 2 2π- 4-π cos(x + x) + cos x + 3 + cos x + 3 = 0

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $[0;2]$ .

а) Применим формулу суммы косинусов $α + β α − β cos α + cosβ = 2cos ------cos ------ 2 2$ :

2 ( π) 2 1 cos(x + x ) + 2 cos(π + x)cos − -- = 0 ⇔ cos(x + x) + 2 ⋅ (− cosx) ⋅-= 0 ⇔ 3 2

2 2 ⇔ cos(x2 + x ) − cos x = 0 ⇔ − 2sin x-+--2x-sin x--= 0 ⇔ 2 2

⌊ 2 x--+-2x- [ || sin 2 = 0 x2 + 2x − 2πn,n ∈ ℤ ⇔ ⌈ 2 ⇔ x2 = 2πk,k ∈ ℤ sin x--= 0 2

Первое уравнение совокупности является квадратным и имеет решения, когда
$D = 4(1 + 2πn ) ≥ 0 ⇒ n = 0;1;2;...$
Тогда $√ -------- x = − 1 ± 1 + 2πn, n = 0;1;2;...$

Второе уравнение имеет решения, когда $2πk ≥ 0 ⇒ k = 0; 1;2;...$
Тогда $√ ---- x = ± 2πk, k = 0;1;2;...$

Эти две серии корней пересекаются по решению $x = 0$ (при $n = k = 0$ ), поэтому из одной серии необходимо убрать это решение, например, из второй. Тогда $√ ---- x = ± 2πk, k = 1; 2;...$

б) Рассмотрим первую серию корней: $√ --------- x1 = − 1 − 1 + 2πn1, n1 = 0;1; 2;...$
Заметим, что в этой серии все $x$ будут отрицательными, т.к. $√ -- √ -- − A ≤ 0 ⇒ − A − 1 ≤ − 1$ .
Значит, нет корней из отрезка $[0;2]$ .

Рассмотрим вторую серию корней: $x = − 1 + √1--+-2πn--, n = 0;1;2;... 2 2 2$
при $n2 = 0$ $√ -- x2 = − 1 + 1 = 0$ – подходит;
при $n2 = 1$ $√ ------- x2 = − 1 + 1 + 2π ∼ 1, ...$ — подходит;
при $n2 = 2$ $√ ------- x2 = − 1 + 1 + 4π > 2 » class=»math» width=»auto»> — уже не подходит.<br class=$ Далее при возрастании $n2$ будет увеличиваться и $x2$ .

Аналогично рассуждая в третьей и четвертой сериях, получим, что в них нет корней из промежутка $[0;2]$ .