Задача к ЕГЭ на тему «Уравнения, решаемые различными методами» №6

Просмотров 5 Комментарии 0

a) Решите уравнение

(tg2(2x) + ctg2(2x) − 2) ⋅ arcsin(x2) = 0.

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[− π;0 ]$ .

ОДЗ:

sin 2x ⁄= 0, cos2x ⁄= 0, − 1 ≤ x2 ≤ 1

(так как $tg (2x )$ не теряет смысл при $cos(2x) ⁄= 0$ , $ctg(2x)$ не теряет смысл при $sin(2x ) ⁄= 0$ , $2 arcsin(x )$ не теряет смысл при $− 1 ≤ x2 ≤ 1$ ). Решим на ОДЗ:

а) Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла.

Рассмотрим сначала уравнение

arcsin (x2 ) = 0.

По определению $arcsin(x2)$ – это угол в радианах, лежащий на $[ π π] − --;-- 2 2$ , синус которого равен $2 x$ .

2 2 2 arcsin (x ) = 0 ⇒ sin(0) = x ⇒ x = 0 ⇒ x = 0.

Однако, $x = 0$ не подходит по ОДЗ, следовательно $x = 0$ – не является корнем исходного уравнения.

Рассмотрим теперь

tg2(2x) + ctg2(2x) − 2 = 0

заметим, что на ОДЗ $tg(2x) ⋅ ctg(2x) = 1$ , тогда $ctg(2x) = --1---- tg (2x )$ . Сделаем замену $tg(2x) = t$ , тогда рассматриваемое уравнение примет вид

2 1- t + t2 − 2 = 0,

причём на ОДЗ $0 ⁄= tg(2x) = t$ , тогда можно домножить последнее уравнение на $t2$ : $t4 + 1 − 2t2 = 0 ⇔ t4 + 1 − 2t2 = (t2 − 1)2 ⇔$

$⇔ (t2 − 1)2 = 0 ⇔ t2 − 1 = 0 ⇔ t = ±1.$

Так как $t = tg(2x )$ , то $tg(2x ) = ±1$ , откуда находим $2x = ± π-+ πk 4$ , тогда $x = ± π-+ πk- 8 2$ , где $k ∈ ℤ$ . Однако, на ОДЗ $2 − 1 ≤ x ≤ 1$ , то есть $− 1 ≤ x ≤ 1$ :