Задача к ЕГЭ на тему «Уравнения, решаемые различными методами» №5

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

(x+ 3)2 20 (x +3 2 ) ---5---+ (x+-3)2-= 8⋅ --5--− x+-3- + 1

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[−6;−4].$

а) Введем для удобства обозначения $x + 3= t$ и $1x0+3 = z.$ Умножим уравнение на 5, тогда оно примет вид:

t2+z2 = 8(t−z)+5 ⇔ t2−2tz+z2 = 8(t−z)+5− 2tz ⇔ (t−z)2− 8(t−z)−5+2tz = 0

Заметим, что

-10-- 2tz = 2⋅(x+ 3)⋅x+ 3 = 20

Следовательно,

(t− z)2− 8(t− z)+ 15= 0

Данное уравнение является квадратным относительно $t− z$ . По теореме Виета его корнями будут $3$ и $5$ . Следовательно,

⌊ ⌈t− z = 3 t− z = 5

Заметим, что $z = 10 t$ , следовательно,

⌊ √ -- |t= 5−---65 ⌊ 10 ⌊ t2-− 3t−-10 || 2 | t− t = 3 || t =0 || 5+ √65- |⌈ ⇔ |⌈ 2 ⇔ ||t= ---2--- t− 10= 5 t-− 5t−-10-=0 ||| t t ⌈t= 5 t= −2

Так как $t= x+ 3$ , то отсюда:

-- ⌊ −√-65−-1 || x1 = 2 || √-- || x2 =-65-− 1 ||| 2 |⌈ x3 = −5 x4 = 2

б) Отберем корни. Заметим, что $x4$ не лежит в $[− 6;− 4]$ , $x3$ – лежит.
Так как $8 < √65< 9$ , то

√ -- −--65−-1 9 − 5< 2 < − 2

и

√ -- 7< --65−-1< 4 2 2

Таким образом, мы видим, что $x1$ лежит в $[−6;−4]$ , а $x2$ – нет.

Уравнения, решаемые различными методами