Задача к ЕГЭ на тему «Уравнения, решаемые различными методами» №11

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $log√ -(log (2− cos2x +2sinx)cos4x) = 2. 2 sinx+1$

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $[−2π;0].$

а) Запишем ОДЗ внутреннего логарифма:

$pict$

Рассмотрим внутренний логарифм на его ОДЗ. Мы уже поняли, что

2− cos2x+ 2sinx= (sinx +1)2

Таким образом,

( 2)cos4x 2cos4x logsinx+1 (sin x+ 1) = logsinx+1(sinx + 1) = 2cos4x

Значит, уравнение приобретает вид:

log√2(2cos4x)= 2 (√-)2 2cos4x = 2 2cos4x = 2 cos4x= 1 4x= 2πn, n ∈ℤ x = πn2 , n ∈ ℤ

В этом уравнении мы не искали ОДЗ логарифма, потому что его основание равно $√ - 2,$ а аргумент должен равняться 2.

Пересечем данное решение с ОДЗ внутреннего (в данном случае это удобно сделать по окружности):

$PIC$

Таким образом, нам подходит всего одна точка на окружности, в которую попадают углы вида:

π- x= 2 + 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни:

− 2π ≤ π-+ 2πk ≤ 0 2 − 5 ≤ k ≤ − 1 4 4

Таким образом, единственное целое $k,$ подходящее в неравенство, это $k = − 1.$ При таком $k$ получаем корень $x= − 3π . 2$