Задача к ЕГЭ на тему «Уравнения, решаемые различными методами» №10

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите систему

( |{ x + y + xy = 1 |( x + z + xz = 1 y + z + yz = 1

Прибавим к обеим частям каждого уравнения системы единицу:

( ( |{ x + y + xy + 1 = 2 |{ (x + 1 )(y + 1) = 2 ⇔ (∗ ) |( x + z + xz + 1 = 2 |( (x + 1 )(z + 1) = 2 y + z + yz + 1 = 2 (y + 1 )(z + 1) = 2

Перемножим все три равенства:

(x + 1)2(y + 1)2(z + 1)2 = 8 ⇔ (x + 1)(y + 1)(z + 1 ) = ±2 √2

Поделив полученное уравнение по очереди на каждое уравнение из системы $(∗)$ , получим:

⌊ ( √ -- ⌊ ( √ -- |{ x + 1 = √ 2- |{ x = √ 2-− 1 || y + 1 = 2 || y = 2 − 1 || |( √ -- || |( √ -- | ( z + 1 = 2 ⇔ | ( z = 2 − 1 || | x + 1 = − √2-- || | x = − √2--− 1 || { √ -- || { √ -- ⌈ | y + 1 = − √ 2- ⌈ | y = − √ 2 − 1 ( z + 1 = − 2 ( z = − 2 − 1