Задача к ЕГЭ на тему «Уравнения, решаемые различными методами» №1

Просмотров 4 Комментарии 0

Решите уравнение

( x x+1 x )2 ( x 2x+1 x )4 27 − 9 − 3 + 9 + 27 + 3 − 3 − 3 = 0

Заметим, что уравнение можно переписать в виде

3x 2x x 2 3x 2x x 4 (3 − 9 ⋅3 − 3 + 9) + (3 + 3⋅3 − 3 − 3)= 0

С помощью замены переменной $t= 3x$ ( t> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-534-3.svg» width=»auto»>) данное уравнение сводится к виду </p>
<p class=

(t3− 9t2 − t+ 9)2+ (t3+ 3t2 − t− 3)4 = 0

Заметим, что в левой части стоит сумма двух неотрицательных выражений, которая является также неотрицательной. Значит, левая часть может быть равна нулю тогда и только тогда, когда оба выражения равны нулю, то есть

{ { t3− 9t2− t+ 9= 0 t2(t− 9)− (t− 9)= 0 t3+ 3t2− t− 3= 0 ⇔ t2(t+ 3)− (t+ 3)= 0 ⇔

{ (t− 9)(t− 1)(t+ 1)= 0 ⇔ (t+ 3)(t− 1)(t+ 1)= 0 ⇔ t= ±1

Т.к. $t> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-534-7.svg» width=»auto»>, то подходит только <img decoding=$ .