Задача к ЕГЭ на тему «Уравнения на метод оценки» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

Решить уравнение

(cos 4x + cos2x )2 = 5 − |cos 3x|

Т.к. значение косинуса любого угла принадлежит промежутку $[− 1; 1]$ , то при всех значениях $x$ :

(cos 4x + cos2x )2 ≤ 4 5 − |cos 3x| ≥ 4

Следовательно, для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы

( [ { | cos 4x + cos2x = 2 (cos4x + cos 2x)2 = 4 { ⇒ | cos 4x + cos2x = − 2 5 − |cos3x | = 4 ( cos 3x = ±1

Опять же, в силу ограниченности косинуса $− 2 ≤ cos4x + cos 2x ≤ 2$ , следовательно, уравнение $cos4x + cos 2x = 2$ равносильно системе ${ cos4x = 1 cos2x = 1$

Аналогично с уравнением $cos 4x + cos2x = − 2$ . Тогда вся система примет вид:

( ⌊ { ||| cos4x = 1 ( [ ||| || cos2x = 1 | x = πn |{ | { |{ |⌈ cos4x = − 1 ⇔ x ∈ ∅ n, k ∈ ℤ ⇔ x = πn,n ∈ ℤ ||| ||( x = π-k |||| cos2x = − 1 3 ( cos3x = ±1