Задача к ЕГЭ на тему «Угол между прямыми» №5

Просмотров 5 Комментарии 0

Дан правильный тетраэдр $SABC$ . Найдите $√ -- 3cos α$ , где $α$ – угол между ребром $AS$ и высотой грани $SBC$ , опущенной из вершины $B$ .

Пусть $BB1$ – высота грани $SBC$ . Так как тетраэдр правильный, то все его грани – равные правильные треугольники, то есть $BB1$ также является и медианой, значит, $SB1 = B1C$ . Также у правильного тетраэдра высота из каждой вершины падает в точку пересечения медиан (биссектрис, высот) противоположной грани. Следовательно, если $SO$ – высота, то $O$ – точка пересечения медиан треугольника $ABC$ , а значит и высот, так как $△ABC$ правильный. Следовательно, $AA1$ медиана и высота.

$PIC$

Рассмотрим $△ASA1$ . Проведем $OM ∥ AS$ , следовательно, $∠ (AS, BB1 ) = ∠ (OM, BB1 )$ .
Заметим также, что $M$ будет лежать на $BB1$ .
Действительно, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, то $AO : OA = 2 : 1 1$ . Следовательно, $SM : M A = 2 : 1 1$ (по теореме Фалеса, так как $OM ∥ AS$ ). Но $SA 1$ и $BB1$ – медианы в $△SBC$ , следовательно, они пересекаются и точкой пересечения тоже делятся в отношении $2 : 1$ . А так как $M$ делит $SA1$ в отношении $2 : 1$ , считая от вершины $S$ , то $M$ и есть точка пересечения медиан $SA1$ и $BB1$ .
Таким образом, нужно найти $cos∠OM B$ .
Пусть $3a$ – ребро тетраэдра. Тогда