Задача к ЕГЭ на тему «Угол между прямыми» №4

Просмотров 6 Комментарии 0

Дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ . Найдите угол между высотой пирамиды и ребром $SB$ , если высота пирамиды равна $√ -- 2 3$ , а сторона основания пирамиды равна $6$ . Ответ дайте в градусах.

Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник, следовательно, высота $SO$ падает в точку пересечения медиан основания.

$PIC$

Пусть $BB1$ – медиана, а значит, и высота. По теореме Пифагора

∘ ------------- -- -- BB = BC2 − B C2 = 3√ 3 ⇒ BO = 2-BB = 2√ 3, 1 1 3 1

так как медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины.
Следовательно, прямоугольный $△SOB$ является равнобедренным ( $√ -- SO = BO = 2 3$ ), значит, острые углы равны по $∘ 45$ .