Задача к ЕГЭ на тему «Угол между прямыми» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

Дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ . Найдите косинус угла между высотой основания $AA1$ и ребром $SC$ , если сторона основания равна $√ -- 3$ , а боковое ребро равно $2$ .

Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник, следовательно, $AA1$ также является и медианой.

$PIC$

Заметим, что прямые $AA1$ и $SC$ скрещиваются. Проведем $A1M ∥ SC$ , следовательно, $∠ (AA1, SC ) = ∠ (AA1, A1M )$ .
Так как $A M ∥ SC 1$ и $A 1$ – середина $BC$ , то $M$ – середина $SB$ . Следовательно, $A M 1$ – средняя линия и

1 A1M = --SC = 1. 2

По теореме Пифагора из $△ABA1$ :

∘ ------------- AA1 = AB2 − A1B2 = 3. 2

Медиану $AM$ из $△SAB$ можно найти по формуле медианы:

2 2AS2--+-2AB2--−-SB2-- 5- AM = 4 = 2.

Следовательно, по теореме косинусов из $△AA1M$ :

2 2 2 cos α = AA--1 +-A1M---−-AM--- = 1-= 0,25. 2AA1 ⋅ A1M 4

Угол между прямыми