Задача к ЕГЭ на тему «Угол между прямыми» №2

Просмотров 7 Комментарии 0

Дан правильный тетраэдр $SABC$ . Найдите квадрат тангенса угла между высотой грани $SAC$ , опущенной из вершины $S$ , и высотой грани $ABC$ , опущенной из вершины $B$ .

Пусть $SB1$ – высота грани $SAC$ . Так как тетраэдр правильный, то все его грани – равные правильные треугольники, то есть $SB1$ также является и медианой, значит, $AB1 = B1C$ . Также у правильного тетраэдра высота из каждой вершины падает в точку пересечения медиан (биссектрис, высот) противоположной грани. Следовательно, если $SO$ – высота, то $O$ – точка пересечения медиан треугольника $ABC$ , а значит и высот, так как $△ABC$ правильный. Следовательно, $BB1$ — медиана и высота.

$PIC$

Таким образом, необходимо найти $2 tg ∠(SB1, BB1 )$ .
Пусть $a$ – ребро тетраэдра. Тогда $BC = a,B1C = 0, 5a$ , следовательно, по теореме Пифагора

√-- ∘ ---2-------2- -3-- BB1 = BC − B1C = 2 a

Так как $O$ – точка пересечения медиан, а медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, то $√ - OB1 = 13 BB1 = -63a$ .

Так как $△ABC = △SAC$ , то $SB1 = BB1$ . Следовательно, из прямоугольного $△SB1O$ :

√ -- OB1 1 √ ---------- 2 2 2 √ --2 cosα = -----= -- ⇒ sin α = 1 − cos2α = ----- ⇒ tg α = (2 2) = 8. SB1 3 3