Задача к ЕГЭ на тему «Угол между прямыми» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

Точки $A$ , $B$ и $C$ лежат в плоскости $π$ . Прямая $l$ образует с плоскостью $π$ угол в $45∘$ и проходит через точку $B$ так, что $∠ (l;AB ) = ∠ (l;BC )$ . Через $l′$ обозначим проекцию $l$ на $π$ . Найдите $∠ (l′;AB )$ , если $∠ABC = 80 ∘$ . Ответ дайте в градусах.

Докажем, что $l′$ содержит биссектрису угла $ABC$ . Выберем на $AB$ точку $A ′$ , а на $BC$ точку $C ′$ так, чтобы $A ′B = BC ′$ . Построим прямую, проходящую через точку $B$ и точку $H$ – середину $A ′C ′$ .

$PIC$
Отметим на $l$ точку $M$ . Треугольник $′ ′ A BC$ – равнобедренный, тогда $BH$ – высота.

Рассмотрим треугольники $A ′BM$ и $C ′BM$ : они равны по двум сторонам и углу между ними, тогда $M A′ = M C ′$ и треугольник $A ′M C ′$ – равнобедренный, тогда $M H$ – его высота.

В итоге $A ′C ′ ⊥ BH$ и $A′C ′ ⊥ M H$ , следовательно, $A ′C′ ⊥ (M BH )$ . Если предположить, что $M ′$ – проекция точки $M$ на $′ ′ (A BC )$ , не попадает на прямую, содержащую $BH$ , то получим, что $′ ′ ′ A C ⊥ M M$ и $′ ′ A C ⊥ M H$ , откуда следует, что $′ ′ ′ A C ⊥ (M M H )$ . Но тогда плоскости $′ (M M H )$ и $(M BH )$ перпендикулярны к одной прямой, пересекаются, но не совпадают, чего быть не может.