Задача к ЕГЭ на тему «Угол между прямой и плоскостью» №8

Просмотров 5 Комментарии 0

Прямая $l$ перпендикулярна плоскости $π$ . Прямая $p$ не лежит в плоскости $π$ и не параллельна ей, также не параллельна прямой $l$ . Найдите сумму углов между прямыми $p$ и $l$ и между прямой $p$ и плоскостью $π$ . Ответ дайте в градусах.

Из условия следует, что прямая $p$ пересекает плоскостью $π$ . Пусть $p ∩ l = O$ , $l ∩ π = L$ , $p ∩ π = P$ .

$PIC$

Тогда $∠P OL$ – угол между прямыми $p$ и $l$ .
Так как угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то $∠OP L$ – угол между $p$ и $π$ . Заметим, что $△OP L$ прямоугольный с $∠L = 90∘$ . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $∘ 90$ , то $∘ ∠P OL + ∠OP L = 90$ .

Замечание.
Если прямая $p$ не пересекает прямую $l$ , то проведем прямую $p′ ∥ p$ , пересекающую $l$ . Тогда угол между прямой $p$ и $l$ будет равен углу между $p′$ и $l$ . Аналогично угол между $p$ и $π$ будет равен углу между $′ p$ и $π$ . А для прямой $′ p$ уже верно предыдущее решение.