Задача к ЕГЭ на тему «Угол между прямой и плоскостью» №7

Просмотров 6 Комментарии 0

Прямая $l$ пересекает плоскость $α$ . На прямой $l$ отмечен отрезок $AB = 25$ , причем известно, что проекция этого отрезка на плоскость $α$ равна $24$ . Найдите синус угла между прямой $l$ и плоскостью $α$

Рассмотрим рисунок:

$PIC$

Пусть $A1B1 = 24$ – проекция $AB$ на плоскость $α$ , значит, $AA1 ⊥ α$ , $BB1 ⊥ α$ . Так как две прямые, перпендикулярные к плоскости, лежат в одной плоскости, то $A1ABB1$ – прямоугольная трапеция. Проведем $AH ⊥ BB1$ . Тогда $AH = A1B1 = 24$ . Следовательно, по теореме Пифагора

√ ----2------2 HB = AB − AH = 7.

Заметим также, что угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, следовательно, искомый угол – угол между $AB$ и $A1B1$ . Так как $AH ∥ A1B1$ , то угол между $AB$ и $A B 1 1$ равен углу между $AB$ и $AH$ .
Тогда

BH 7 sin∠BAH = ---- = ---= 0,28. AB 25