Задача к ЕГЭ на тему «Угол между прямой и плоскостью» №6

Просмотров 6 Комментарии 0

Дан треугольник $ABC$ с углом $∠A = 60∘$ . Вне плоскости треугольника отмечена точка $O$ такая, что $OB = OC$ и $OB ⊥ AB$ , $OC ⊥ AC$ . Известно, что $√ --- OB = 22$ , $OA = 5$ . Найдите косинус угла между прямой $OA$ и плоскостью треугольника.

Проведем $OH ⊥ (ABC )$ .

$PIC$

Тогда $AH$ – проекция прямой $OA$ на плоскость $ABC$ и необходимо найти косинус угла $∠OAH$ .
Заметим, что $△OAB = △OAC$ как прямоугольные по катету и гипотенузе. Следовательно, $AB = AC$ . Следовательно, $△ABH = △ACH$ также как прямоугольные по катету и гипотенузе. Значит, $∘ ∠BAH = ∠CAH = 30$ .
По теореме Пифагора