Задача к ЕГЭ на тему «Угол между прямой и плоскостью» №5

Просмотров 6 Комментарии 0

Диагональ развертки боковой поверхности цилиндра составляет со стороной основания развертки угол $arctgπ1$ . Вычислите угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания.

Рассмотрим развертку цилиндра. Это прямоугольник $ABB ′A ′$ , где $AB = A′B ′ = l$ равен образующей цилиндра, а $AA ′$ равен длине окружности основания, то есть равен $2πR$ (если $R$ – радиус основания).

Обозначим угол $1 arctgπ$ за $ϕ$ .

$PIC$

Тогда из прямоугольного треугольника $′ ′ AA B$

′ ′ tgϕ = A-B-- ⇒ tg ϕ = --l-- (1) AA ′ 2πR

$PIC$

Рассмотрим осевое сечение цилиндра – это также прямоугольник $ABCD$ , где $AB = CD = l$ , а $AD$ – диаметр основания, то есть $AD = 2R$ . Т.к. $CD$ перпендикулярен плоскости основания, то угол между $AC$ и плоскостью основания – это угол между $AC$ и ее проекцией $AD$ на эту плоскость, то есть это угол $CAD$ . Тогда