Задача к ЕГЭ на тему «Угол между прямой и плоскостью» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

$ABC$ – правильный треугольник со стороной $3$ , $O$ – точка, лежащая вне плоскости треугольника, причем $√ -- OA = OB = OC = 2 3$ . Найдите угол, который образуют прямые $OA, OB, OC$ с плоскостью треугольника. Ответ дайте в градусах.

Проведем перпендикуляр $OH$ на плоскость треугольника.

$PIC$

Рассмотрим $△OAH, △OBH, △OCH$ . Они являются прямоугольными и равны по катету и гипотенузе. Следовательно, $AH = BH = CH$ . Значит, $H$ – точка, находящаяся на одинаковом расстоянии от вершин треугольника $ABC$ . Следовательно, $H$ – центр описанной около него окружности. Так как $△ABC$ – правильный, то $H$ – точка пересечения медиан (они же высоты и биссектрисы).
Так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, а $AH$ – проекция $AO$ на плоскость треугольника, то угол между $AO$ и плоскостью треугольника равен $∠OAH$ .
Пусть $AA 1$ – медиана в $△ABC$ , следовательно,