Задача к ЕГЭ на тему «Угол между прямой и плоскостью» №14

Просмотров 5 Комментарии 0

Дан куб $ABCDA1B1C1D1.$ Найдите угол между прямой $A1C$ и плоскостью $(BB1D ).$

Из соображений симметрии очевидно, что $A1C$ пройдет через центр прямоугольника $BB1D1D$ точку $O,$ который также является центром куба.

Пусть $H$ — середина $DB$ и центр квадрата-основания. Тогда имеем:

CH ⊥ DB, CH ⊥HO ⇒ CH ⊥ (BB1D )

Так как $OH$ является проекцией $CO$ на плоскость $(BB1D ),$ то $∠HOC$ — искомый угол.

$PIC$

Пусть сторона куба равна $a.$ Тогда $√- HC = -2a 2$ как половина диагонали куба, $OH = 1 a 2$ как половина высоты куба. По теореме Пифагора имеем:

∘ ---------- ∘ a2--a2- √3 OC = OH2 + HC2 = 4-+ -2 = 2-a

Тогда искомый угол равен

( ) ( ) OH- √12a- -1- ∠HOC = arccos OC =arccos -32 a = arccos√ 3