Задача к ЕГЭ на тему «Угол между прямой и плоскостью» №13

Просмотров 6 Комментарии 0

Дан куб $ABCDA1B1C1D1$ . Точка $C2$ – середина стороны $CC1$ . Чему равен квадрат котангенса угла между $A1C2$ и плоскостью $A1D1C$ ?

$PIC$

$PIC$

Проведем $C2H ⊥ CD1$ . Так как $BC ⊥ (CC1D1 )$ , то $BC$ перпендикулярна любой прямой из плоскости $(CC1D1 )$ , следовательно, $BC ⊥ C2H$ . Таким образом, $C2H$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости $A1D1C$ , следовательно, $C2H ⊥ (A1D1C )$ .

Тогда $A1H$ – проекция $A1C2$ на плоскость $A1D1C$ . Значит, угол между $A1C2$ и плоскостью $A D C 1 1$ равен углу между $A C 1 2$ и $A H 1$ .

Рассмотрим грань $CC1D1D$ . Проведем диагональ $C1D$ , пусть она пересекается с диагональю $CD1$ в точке $O$ . Так как эта грань представляет собой квадрат, то $C1O ⊥ CD1$ . Тогда $C2H ∥ C1O$ и, так как $C2$ – середина $CC1$ , то $C2H$ – средняя линия и $C2H = 12C1O$ .