Задача к ЕГЭ на тему «Угол между прямой и плоскостью» №10

Просмотров 5 Комментарии 0

$ABCDA1B1C1D1$ – куб. Точка $N$ – середина ребра $BB1$ , а точка $M$ делит отрезок $BD$ в отношении $1 : 2$ , считая от вершины $B$ . Найдите $9ctg2α$ , где $α$ – угол между прямой, содержащей $M N$ , и плоскостью $(ABC )$ . Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Так как $N B$ – часть $BB1$ , а $BB1 ⊥ (ABC )$ , то и $N B ⊥ (ABC )$ . Следовательно, $BM$ – проекция $N M$ на плоскость $(ABC )$ . Значит, угол $α$ равен $∠N M B$ .

Пусть ребро куба равно $x$ . Тогда $N B = 0,5x$ . По теореме Пифагора $√ -------- √ -- BD = x2 + x2 = 2x$ . Так как по условию $BM : M D = 1 : 2$ , то $BM = 1BD 3$ , следовательно, $√- BM = -2x 3$ .

Тогда из прямоугольного $△N BM$ :

BM 2√2-- ctg α = ctg∠N M B = -----= ----- ⇒ 9ctg2α = 8. N B 3