Задача к ЕГЭ на тему «Угол между плоскостями и двугранный угол» №8

Просмотров 6 Комментарии 0

Плоскости $π1$ и $π2$ пересекаются по прямой $l$ , на которой лежат точки $M$ и $N$ . Отрезки $M A$ и $M B$ перпендикулярны прямой $l$ и лежат в плоскостях $π1$ и $π2$ соответственно, причем $M N = 15$ , $AN = 39$ , $BN = 17$ , $AB = 40$ . Найдите $3 cosα$ , где $α$ – угол между плоскостями $π1$ и $π2$ .

$PIC$

Треугольник $AM N$ прямоугольный, $AN 2 = AM 2 + M N 2$ , откуда

2 2 2 2 AM = 39 − 15 = 36 .

Треугольник $BM N$ прямоугольный, $BN 2 = BM 2 + M N 2$ , откуда

BM 2 = 172 − 152 = 82.

Запишем для треугольника $AM B$ теорему косинусов:

2 2 2 AB = AM + M B − 2 ⋅ AM ⋅ M B ⋅ cos∠AM B.

Тогда

402 = 362 + 82 − 2 ⋅ 36 ⋅ 8 ⋅ cos ∠AM B ⇔ cos∠AM B = − 5-- 12

Так как угол $α$ между плоскостями – это острый угол, а $∠AM B$ получился тупым, то $5 cosα = --- 12$ . Тогда

3cosα = 5-= 1, 25. 4

Угол между плоскостями и двугранный угол