Задача к ЕГЭ на тему «Угол между плоскостями и двугранный угол» №7

Просмотров 6 Комментарии 0

Даны прямые $a,b,c$ , пересекающиеся в одной точке, причем угол между любыми двумя из них равен $60∘$ . Найдите $cos−1 α$ , где $α$ – угол между плоскостью, образованной прямыми $a$ и $c$ , и плоскостью, образованной прямыми $b$ и $c$ . Ответ дайте в градусах.

Пусть прямые пересекаются в точке $O$ . Так как угол между любыми двумя их них равен $60∘$ , то все три прямые не могут лежать в одной плоскости. Отметим на прямой $a$ точку $A$ и проведем $AB ⊥ b$ и $AC ⊥ c$ . Тогда $△AOB = △AOC$ как прямоугольные по гипотенузе и острому углу. Следовательно, $OB = OC$ и $AB = AC$ .
Проведем $AH ⊥ (BOC )$ . Тогда по теореме о трех перпендикулярах $HC ⊥ c$ , $HB ⊥ b$ . Так как $AB = AC$ , то $△AHB = △AHC$ как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно, $HB = HC$ . Значит, $OH$ – биссектриса угла $BOC$ (так как точка $H$ равноудалена от сторон угла).

$PIC$

Заметим, что таким образом мы к тому же построили линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью, образованной прямыми $a$ и $c$ , и плоскостью, образованной прямыми $b$ и $c$ . Это угол $ACH$ .