Задача к ЕГЭ на тему «Угол между плоскостями и двугранный угол» №5

Просмотров 7 Комментарии 0

В квадрате $ABCD :$ $O$ — точка пересечения диагоналей; $S$ — не лежит в плоскости квадрата, $SO ⊥ABC.$ Найдите угол между плоскостями $(ASD )$ и $(BSC ),$ если $SO =5,$ а $AB = 10.$

Прямоугольные треугольники $△SAO,$ $△SDO,$ $△SOB$ и $△SOC$ равны по двум сторонам и углу между ними, так как $SO ⊥ ABC,$ а значит

∘ ∠SOA = ∠SOD = ∠SOB = ∠SOC =90 ;

$AO = OD = OB =OC,$ так как $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата, $SO$ — общая сторона, следовательно, $AS = DS = BS = CS,$ значит, $△ASD$ и $△BSC$ — равнобедренные. Точка $K$ — середина $AD,$ тогда $SK$ — высота в треугольнике $△ASD,$ а $OK$ — высота в треугольнике $AOD.$ Следовательно, плоскость $(SOK )$ перпендикулярна плоскости $(ASD ).$

Точка $L$ — середина $BC,$ тогда $SL$ — высота в треугольнике $△BSC,$ а $OL$ — высота в треугольнике $BOC,$ следовательно, плоскость $(SOL)$ (она же плоскость $(SOK )$ ) перпендикулярна плоскости $(BSC ).$ Таким образом получаем, что $∠KSL$ — линейный угол, равный искомому двугранному углу.