Задача к ЕГЭ на тему «Угол между плоскостями и двугранный угол» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

$ABCDA1B1C1D1$ – параллелепипед, $ABCD$ – квадрат со стороной $a$ , точка $M$ – основание перпендикуляра, опущенного из точки $A1$ на плоскость $(ABCD )$ , кроме того $M$ – точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$ . Известно, что $√3- A1M = ---a 2$ . Найдите угол между плоскостями $(ABCD )$ и $(AA1B1B )$ . Ответ дайте в градусах.

Построим $M N$ перпендикулярно $AB$ как показано на рисунке.

$PIC$

Так как $ABCD$ – квадрат со стороной $a$ и $M N ⊥ AB$ и $BC ⊥ AB$ , то $M N ∥ BC$ . Так как $M$ – точка пересечения диагоналей квадрата, то $M$ – середина $AC$ , следовательно, $M N$ – средняя линия и $M N = 1BC = 1a 2 2$ .
$M N$ – проекция $A1N$ на плоскость $(ABCD )$ , причем $M N$ перпендикулярен $AB$ , тогда по теореме о трех перпендикулярах $A1N$ перпендикулярен $AB$ и угол между плоскостями $(ABCD )$ и $(AA1B1B )$ есть $∠A1N M$ .

√- A M -3a √-- tg∠A1N M = --1-- = 21---= 3 ⇒ ∠A1N M = 60∘ N M 2a