Задача к ЕГЭ на тему «Угол между плоскостями и двугранный угол» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

Плоскости $π1$ и $π2$ пересекаются под углом, косинус которого равен $0,2$ . Плоскости $π2$ и $π3$ пересекаются под прямым углом, причем линия пересечения плоскостей $π1$ и $π2$ параллельна линии пересечения плоскостей $π2$ и $π3$ . Найдите синус угла между плоскостями $π1$ и $π3$ .

Пусть линия пересечения $π1$ и $π2$ – прямая $a$ , линия пересечения $π2$ и $π3$ – прямая $b$ , а линия пересечения $π3$ и $π1$ – прямая $c$ . Так как $a ∥ b$ , то $c ∥ a ∥ b$ (по теореме из раздела теоретической справки “Геометрия в пространстве” $→$ “Введение в стереометрию, параллельность”).

$PIC$

Отметим точки $A ∈ a, B ∈ b$ так, чтобы $AB ⊥ a,AB ⊥ b$ (это возможно, так как $a ∥ b$ ). Отметим $C ∈ c$ так, чтобы $BC ⊥ c$ , следовательно, $BC ⊥ b$ . Тогда $AC ⊥ c$ и $AC ⊥ a$ .
Действительно, так как $AB ⊥ b,BC ⊥ b$ , то $b$ перпендикулярна плоскости $ABC$ . Так как $c ∥ a ∥ b$ , то прямые $a$ и $c$ тоже перпендикулярны плоскости $ABC$ , а значит и любой прямой из этой плоскости, в частности, прямой $AC$ .