Задача к ЕГЭ на тему «Угол между плоскостями и двугранный угол» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

В кубе $ABCDA1B1C1D1$ точка $K$ лежит на ребре $AB,$ а точка $L$ лежит на ребре $CD,$ причем $AK = KB,$ $CL =LD.$ Найдите квадрат косинуса двугранного угла, образуемого плоскостями $(A1BC )$ и $(A1KL ).$

$PIC$

Так как три ребра, выходящие из одной вершины куба, попарно взаимно перпендикулярны, то ребро $A1D1$ перпендикулярно плоскости грани $AA1B1B$ $⇒$ $AA1B1 ⊥ A1BC$ и $AA1B1 ⊥ A1KL$ , тогда величина линейного угла $∠KA1B$ совпадает с искомым двугранным углом.

$PIC$

Примем сторону куба за $x$ и рассмотрим треугольник $△A1KB$ : $KB = 12 ⋅AB = 12x$ , $A1B$ – диагональ квадрата $⇒$ $√ - A1B = 2x$ , а сторону $A1K$ можно найти по теореме Пифагора из треугольника $△A1AK$ :