Задача к ЕГЭ на тему «Угол между плоскостями и двугранный угол» №1

Просмотров 7 Комментарии 0

В квадрате $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O,$ точка $S$ не лежит в плоскости квадрата, при этом этом $SO ⊥ ABC.$ Найдите угол между плоскостями $(ASD )$ и $(ABC ),$ если $SO = 5,$ а $AB = 10.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

По условию имеем:

∘ SO ⊥ ABC ⇒ ∠SOA = ∠SOD = 90

Кроме того, $AO = DO,$ так как $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата, и $SO$ — общая сторона двух треугольников.

Тогда прямоугольные треугольники $△SAO$ и $△SDO$ равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $AS = SD$ и $△ASD$ — равнобедренный.

$PIC$

Далее, точка $K$ — середина $AD,$ тогда $SK$ — высота в треугольнике $△ASD,$ а $OK$ — высота в треугольнике $AOD.$ Следовательно, $∠SKO$ — линейный угол искомого двугранного угла.

В $△SKO$ имеем:

OK = 1⋅AB = 1 ⋅10= 5= SO 2 2

Тогда $△SOK$ — равнобедренный прямоугольный треугольник и $∠SKO = 45∘.$