Задача к ЕГЭ на тему «Угол между плоскостями» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

$SABC$ – треугольная пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $10,10$ и $√-- 10 3$ . Высота пирамиды равна $10$ и падает в точку пересечения высот основания. Найдите угол между двумя равными гранями пирамиды.

1) Пусть $√ -- AC = AB = 10,BC = 10 3, SO$ — высота пирамиды.

Заметим, что $ABC$ – тупоугольный (из теоремы косинусов следует, что $cos∠A < 0$ ). Следовательно, высоты треугольника пересекаются в одной точке, лежащей вне треугольника.

Две равные грани пирамиды – это $SAC$ и $SAB$ . Проведем $CH ⊥ SA$ . Т.к. $△SAC = △SAB ⇒ BH ⊥ SA$ . Таким образом, $∠BHC = α$ – искомый угол между равными гранями.

Будем искать $α$ из теоремы косинусов для $△BHC$ (у которого $BH = CH$ ). Для этого найдем $CH$ .

$PIC$

2) Пусть $O$ – точка пересечения высот основания. По теореме косинусов для $△ABC$ :

$√-- 3 cos∠ABC = ---⇒ ∠ABC = 30∘ 2$ . Следовательно, $∠BCB1 = 90∘ − 30∘ = 60∘$ . Аналогично $∘ ∠CBC1 = 60 ⇒ △OBC$ – равносторонний и $√ -- OC = BC = 10 3$ .