Задача к ЕГЭ на тему «Угол между плоскостями» №3

Просмотров 6 Комментарии 0

Дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ с вершиной $S$ . Известно, что $AB = 1,SA = 3$ . Найдите угол между плоскостями $SAB$ и $SEF$ .

$PIC$

1) Продлим прямые $AB$ и $EF$ до пересечения в точке $O$ . Тогда $SO$ – линия пересечения плоскостей $SAB$ и $SEF$ . Заметим, что $△AOF$ равносторонний: углы правильного шестиугольника равны $120∘$ , следовательно, $∠OAF = ∠OF A = 180∘ − 120∘ = 60∘$ . Следовательно, $OA = OF = AF = 1$ .
Тогда $△SOE = △SOB$ по двум сторонам и углу между ними ( $Ob = OE = 2, SB = SE, ∠SBO = ∠SEO$ ). Следовательно, если $BH ⊥ SO$ , то и $EH ⊥ SO$ . Таким образом, $∠BHE = α$ – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями $SAB$ и $SEF$ .

2) Рассмотрим $△SOB$ . $OB = 2$ . Пусть $SK ⊥ OB$ . Тогда $K$ – середина $AB$ , следовательно, $1 1 KB = 2AB = 2$ . Тогда по теореме Пифагора из $△SKB$ : $√35 SK = 2$ . Также по теореме Пифагора из $△SKO$ : $√ --- SO = 11$ . Следовательно,