Задача к ЕГЭ на тему «Угол между плоскостями» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

В цилиндре параллельно диаметру $AB = 10$ в нижнем основании проведена прямая, пересекающая окружность нижнего основания в точках $M$ и $N,$ причем $MN = 6.$ Через отрезок $MN$ проведена плоскость $α$ под углом $15∘$ к плоскости осевого сечения $ABCD.$ Найдите расстояние от центра нижнего основания до плоскости $α.$

Так как $MN ∥ AB,$ то плоскость $α$ пересечет плоскость $(ABCD )$ по прямой $p,$ параллельной $AB.$ Если это не так, то

p ∩AB = K ⇒ K ∈ нижнему основанию и K ∈α ⇒

⇒ K ∈ MN ⇒ AB ∩MN ⁄= ∅

Это противоречит условию, так как прямые $AB$ и $MN$ параллельны.

$PIC$

Обозначим за $OQ$ ось цилиндра. Тогда $OQ ⊥ AB$ и $OQ ⊥ p.$ При этом $OQ ∩ p= L.$

Проведем $OR ⊥MN.$ Тогда по теореме о трех перпендикулярах $RL ⊥ MN$ и $RL ⊥ p.$ Следовательно, $∠RLO$ — угол между плоскостями $(ABCD )$ и $α$ .

Так как $OR ⊥ MN$ и $LR ⊥ MN,$ то перпендикуляр из точки $O$ на плоскость $α$ упадет на прямую $LR.$

Рассмотрим $△OMR.$ В нем имеем:

OM = 5, MR = 3, ∠ORM =90∘ ⇒ OR = 4

Рассмотрим прямоугольный $△LOR.$ В нем имеем:

∠HOR = ∠RLO = 15∘ ⇒

∘ ∘ ∘ √- √ - ⇒ OH =OR ⋅cos15 = 4⋅cos(45 − 30 )= 6 + 2

Угол между плоскостями