Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические уравнения» №21

Просмотров 6 Комментарии 0

Решите уравнение. В ответе укажите наименьший положительный корень, деленный на $π.$

√ - ( 1 π) 3tg 6x + 3- − 1 = 0

Данное уравнение преобразуется в

(1 π ) 1 tg 6 x+ 3- = √-- 3

Заметим, что $√- 1√-= -3. 3 3$ Сделаем замену $1x + π= y. 6 3$ Тогда уравнение примет вид простейшего уравнения:

√ - --3 π- tgy = 3 ⇒ y = 6 + πn, n ∈ ℤ

Сделаем обратную замену:

1 π π 1 π -x + --= --+ πn, n ∈ ℤ ⇒ - x = −--+ πn, n ∈ ℤ ⇒ x = − π +6πn, n ∈ ℤ 6 3 6 6 6

Заметим, что из данной серии корней при $n = 0$ получается корень $x = − π,$ который отрицательный, то есть не подходит нам. А вот уже при $n = 1$ мы получаем положительный корень $x = 5π.$ При $n ≥ 2$ корни будут больше $5π,$ а при $n ≤ − 1$ – меньше $− π.$ Следовательно, $5π$ – наименьший положительный корень.

Следовательно, в ответ нужно записать $5π÷ π = 5.$