Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические уравнения» №13

Просмотров 6 Комментарии 0

Решите уравнение. В ответе укажите произведение корней, входящих в промежуток $( π-π-) − 2;2 ,$ деленное на $π2.$

( π ) √ - 2cos 4 − 3x = 2

Т.к. косинус – четная функция, то $cos(− x) = cosx,$ следовательно, $(π ) ( π) cos 4 − 3x = cos 3x− 4 .$

Сделаем замену: $π 3x − 4-= y.$ Тогда уравнение принимает вид простейшего уравнения:

⌊ π √2 y = 4-+ 2πk, k ∈ ℤ cosy =-2- ⇔ ⌈ π- y = − 4 + 2πn, n ∈ ℤ

Сделаем обратную замену:

⌊ π π ⌊ ⌊ π 2π 3x − --= --+ 2πk, k ∈ ℤ 3x = π-+ 2πk, k ∈ ℤ x1 = --+ --k, k ∈ ℤ ⌈ 4π 4 π ⇒ ⌈ 2 ⇒ |⌈ 62π 3 3x − 4-= − 4-+2πn, n ∈ ℤ 3x = 2πn, n ∈ ℤ x2 = --n, n ∈ ℤ 3

Из первой серии корней $x1 = π6 + 2π3 k, k ∈ ℤ$ в промежуток $(− π2 ; π2)$ попадает только корень $π6$ при $k = 0.$

Из второй серии корней $x2 = 2π3 n, n ∈ ℤ$ в промежуток $(− π2; π2)$ попадает только корень $0$ при $n = 0.$

Следовательно, произведение этих корней равно $π6 ⋅0 = 0.$