Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические уравнения» №12

Просмотров 6 Комментарии 0

Решите уравнение. В ответ запишите сумму корней, принадлежащих отрезку $[ π-] 0;2 ,$ деленную на $π.$

√3- sin 4x− --- = 0 2

Сделаем замену: $4x = y.$ Тогда уравнение принимает вид простейшего уравнения:

√ - ⌊ π- --3 ⌈y = 3 + 2πn, n ∈ ℤ sin y = 2 ⇒ y = π− π+ 2πk, k ∈ ℤ 3

Сделаем обратную замену:

⌊ π- ⌊ π- π- |4x = 3 + 2πn, n ∈ ℤ ⌈x1 = 12 + 2 n, n ∈ ℤ ⌈ 2π- ⇒ x = π+ πk, k ∈ ℤ 4x = 3 + 2πk, k ∈ ℤ 2 6 2

Заметим, что из первой серии корней $π- π x1 = 12 + 2n, n ∈ ℤ$ в промежуток $[ π] 0;2$ попадает только корень $π- x = 12$ при $n = 0.$

Из второй серии корней $π π x2 = 6 + 2 k, k ∈ ℤ$ в промежуток $[ π] 0;2$ попадает только корень $π x = 6$ при $k = 0.$

Сумма этих корней равна

π- π- π- 12 + 6 = 4

Следовательно, в ответ пойдет $π4 ÷π = 14 = 0,25$ .