Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к однородному уравнению» №7

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

√ -- √ -- 3 sin2 x − 3(sin xcos x − 1) = 3sin2x − 3cos2x

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[− 1;2 ]$ .

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Перенесем все слагаемые в левую часть и применим формулы двойного аргумента для синуса и косинуса: $sin2x = 2sinx cosx, cos2x = 2cos2x − 1$ :

2 √ -- √ -- 2 3 sin x − ( 3 + 6)sinx cosx + 2 3 cos x = 0

Данное уравнение является однородным. Разделим правую и левую части уравнения на $2 cos x$ и сделаем замену $tgx = t, t ∈ ℝ$ :

√ -- √ -- 3t2 − ( 3 + 6)t + 2 3 = 0

Дискриминант данного уравнения $D = √32 + 12 √3-+ 62 − 24√3--= √32- − 12√3--+ 62 = (√3--− 6)2$

Следовательно, $√ -- ∘ -√-------- √ -- √ -- D = ( 3 − 6)2 = | 3 − 6 | = 6 − 3$

Таким образом, корнями данного уравнения будут: $√ -- √ -- √-- t1,2 = --3 +-6-±-(6-−--3)-⇒ t1 = -3-, t2 = 2 6 3$

Сделаем обратную замену:

⌊ √ -- ⌊ tgx = --3- x1 = π- + πk,k ∈ ℤ |⌈ 3 ⇒ ⌈ 6 ⇒ x2 = arctg2 + πn, n ∈ ℤ tgx = 2

б) Произведем отбор корней по окружности:

Отметим точки, являющиеся решением уравнения, на окружности. Для этого найдем на линии тангенсов точки $√- -3- 3$ и $2$ и соединим их с центром окружности. Получили четыре (зеленые) точки на окружности.

Отметим дугу, соответствующую отрезку $[− 1;2 ]$ . Т.к. $1$ рад $∘ ∼ 57$ , то $∘ ∘ − 1 ∼ − 57 , 2 ∼ 114$ .

Таким образом, видно, что на дугу попали лишь две точки.

Из серии углов $π- 6 + πk$ угол, попадающий в $[− 1;2]$ , это $π- 6$ . Из серии $arctg2 + πn$ — угол $arctg2$ .