Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к однородному уравнению» №6

Просмотров 4 Комментарии 0

а) Решите уравнение

10 sin x + 3cos x = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие полуинтервалу $[− π;π)$ .

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Заметим, что данное уравнение является однородным первой степени. Поделим правую и левую части уравнения на $cosx$ :

10tgx + 3 = 0 ⇒ tgx = − 0,3 ⇒ x = arctg(− 0,3) + πk, k ∈ ℤ ⇒ x = − arctg0,3 + πk,k ∈ ℤ

б) Отберем корни. Обозначим $arctg0,3 = α$ :

− π ≤ − α + πk < π ⇒ − 1 + α-≤ k < 1 + α- π π

Т.к. тангенс в первой четверти возрастает и $√ -- 0,3 < --3- 3$ , то $0 < α < π-⇒ − 1 < − 1 + α-< − 5- 6 π 6$ и $1 < 1 + α- < 11- π 6$

Условно можно записать, что $− 0,...≤ k < 1,...$
Следовательно, целые $k$ , удовлетворяющие неравенству, это $k = 0;1$ . Им соответствуют углы $− arctg0,3$ и $− arctg0,3 + π$ .