Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к однородному уравнению» №5

Просмотров 4 Комментарии 0

а) Решите уравнение

4cos2x + 6 sin2 x = 5 sin 2x

б) Найдите все его корни, принадлежащие полуинтервалу $[ ) 0; 5π 4$ .

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Перенесем все слагаемые в левую часть и применим формулу синуса двойного угла $sin 2x = 2 sin xcos x$ :

2 2 4 cos x − 10 sin xcos x + 6sin x = 0

Уравнение свелось к однородному. Разделим правую и левую части равенства на $2 sin x$ :

2 4ctg x − 10ctgx + 6 = 0

Заменой $ctgx = t, t ∈ ℝ$ данное уравнение сводится к квадратному:

4t2 − 10t + 6 = 0 ⇒ t1 = 1, t2 = 3- 2

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ctgx = 1 x1 = π-+ πk, k ∈ ℤ | | 4 ⌈ ⇒ |⌈ ctgx = 3- 3- 2 x2 = arcctg 2 + πn, n ∈ ℤ

б) Отберем корни:

0 ≤ x < 5π-⇒ − 1-≤ k < 1 1 4 4

Целые $k$ , удовлетворяющие этому неравенству, это $k = 0$ . Следовательно, $π x1 = -- 4$ .

Обозначим $3- arcctg2 = α$ :

0 ≤ x2 < 5π-⇒ − α- ≤ n < 5− α- 4 π 4 π

Т.к. котангенс в первой четверти убывает, то $π 1 α 5 α 5 0 < α < --⇒ − --< − --< 0 ⇒ 1 < --− -- < -- 4 4 π 4 π 4$ (можно условно записать, что $− 0,...≤ n < 1,...$ ),

значит, целые $n$ , удовлетворяющие неравенству, это $n = 0; 1$ . Следовательно, $3 3 x2 = arcctg--; arcctg --+ π 2 2$ .

Тригонометрические: сведение к однородному уравнению