Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к однородному уравнению» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $sin πx− √3-cos πx-=0. 2 2$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(2;2π)$ .

а) Найдем ОДЗ: $x$ — произвольное. Решим на ОДЗ.

Сделаем замену $πx= y 2$ для удобства. Тогда уравнение примет вид:

√- siny− 3 cosy =0

Это однородное уравнение первой степени, разделим обе части равенства на $cosy :$

√- π tgy = 3 ⇒ y = 3-+πn, n∈ ℤ

Сделаем обратную замену:

πx-= π-+ πn ⇒ x = 2+ 2n, n ∈ℤ 2 3 3

б) Отберем корни с помощью неравенств:

2 2 1 2 < 3 + 2n< 2π ⇒ 3 < n< π− 3

Далее имеем:

1 3,14 < π < 3,15 ⇒ 2< π− 3 < 3

Таким образом, целые $n$ , удовлетворяющие неравенству, это $n= 1;2$ . Значит, $8 14 x= 3 ;3-$ .