Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к однородному уравнению» №1

Просмотров 6 Комментарии 0

а) Решите уравнение $sin23x = 10 sin3xcos3x− 9cos2 3x.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[ ] − π; π-. 6 6$

а) ОДЗ: $x$ — произвольное. Решим уравнение на ОДЗ.

Перенесем все слагаемые в левую часть и разделим обе части уравнения на $cos23x$ (т.к. данное уравнение является однородным):

tg23x − 10tg3x +9 = 0

Сделаем замену $t =tg3x, t∈ℝ$ :

t2− 10t+ 9 =0

По теореме Виета можно найти корни данного уравнения: $t1 = 9,t2 = 1$ . Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ π π [tg3x= 1 3x = π+ πk,k ∈ ℤ |x1 = 12-+ 3k,k ∈ ℤ tg3x= 9 ⇒ ⌈ 4 ⇒ ⌈ 1 π ⇒ 3x = arctg9+ πn,n∈ ℤ x2 = 3arctg9+ 3-n,n ∈ ℤ

б) Отберем корни:

− π-≤ x1 ≤ π ⇒ −2π ≤ π+ 4πk ≤ 2π ⇒ − 3 ≤ k ≤ 1 6 6 4 4

Целые $k$ , удовлетворяющие этому неравенству, $k = 0$ . Следовательно, $x1 = π- 12$

Обозначим $arctg 9= α$ :

π π 1 α 1 α − 6-≤ x2 ≤ 6-⇒ −2 − π-≤n ≤ 2 − π-

Т.к. тангенс в первой четверти возрастает, то $π- π- 3 < α< 2$ , значит, $− 1< − α-<− 1 ⇒ −1 <− 1 − α< − 5 2 π 3 2 π 6$

Аналогично, $0< 1 − α< 1 2 π 6$

Таким образом, целые $n$ , удовлетворяющие неравенству, это $n = 0$ . Следовательно, $x2 = 1arctg9 3$ .

Тригонометрические: сведение к однородному уравнению