Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к неоднородному линейному уравнению (на формулу вспомогательного угла)» №9

Просмотров 4 Комментарии 0

а) Решите уравнение $√ - sin 4x − cos4x = 2.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( ) − 7π;−2π . 2$

а) Разделим правую и левую части уравнения на $√- 2$ с учетом того, что $1 √2 √2-= 2--:$

√ - √- --2 -2- π- π- 2 ⋅sin 4x − 2 ⋅cos4x = 1 ⇒ sin4x⋅cos4 − cos4x ⋅sin4 = 1 ⇒

( π) π π ⇒ sin 4x− 4- = 1 ⇒ 4x− 4-= 2-+ 2πm, m ∈ℤ ⇒

⇒ 4x= 3π + 2πm, m ∈ℤ ⇒ x= 3π + πm, m ∈ ℤ 4 16 2

б) Отберем корни с помощью неравенств.

7π 3π π 3 3 − 2- < 16 + 2-m <− 2π ⇒ −78 < m < −48

Таким образом, удовлетворяющие полученному неравенству целые $m = −7;−6;−5.$ При этих значениях $m$ получаем корни $x = − 53π;− 45π-;− 37π. 16 16 16$