Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к неоднородному линейному уравнению (на формулу вспомогательного угла)» №6

Просмотров 4 Комментарии 0

а) Решите уравнение

( ) cos π-cosx − cos π-− x sin π-= 1- 3 2 3 2

б) Найдите все его корни из промежутка $√ -- (− 1; 2)$ .

а) По формуле приведения $( π ) cos --− x = sinx 2$ . Тогда уравнение примет вид неоднородного линейного уравнения:

π π 1 ( π ) 1 cos 3-cosx − sin xsin 3-= 2- ⇒ cos 3-+ x = 2- ⇒

(преобразование было сделано по формуле косинуса суммы $cos αcos β − sinα sin β = cos(α + β)$ )

⌊π π ⌊ --+ x = --+ 2πn,n ∈ ℤ x = 2πn, n ∈ ℤ ⇒ |⌈ 3 3 ⇒ ⌈ π- π- x = − 2π-+ 2πm, m ∈ ℤ 3 + x = − 3 + 2πm, m ∈ ℤ 3

б) Отберем корни.

√ -- 1 √2-- − 1 < 2πn < 2 ⇒ − ---< n < ---- 2π 2π

Заметим, что т.к. $3 < π < 4$ , то $− 1 < − 21π < 0$ и $√2-- 0 < ----< 1 2π$ . Следовательно, единственное целое подходящее $n = 0$ . Значит, корень $x = 0$ .

√ -- 2π- √ -- 1-- 1- --2- 1- − 1 < − 3 + 2πm < 2 ⇒ − 2π + 3 < m < 2π + 3

Заметим, что $1 < -1 < 1 8 2π 6$ , следовательно, $1 < − 1-+ 1 < -5 6 2π 3 24$ , то есть это некоторое положительное число меньше $1$ ;

$√ -- √ -- √ -- 3--2 +-8-< --2-+ 1-< --2-+-2 24 2π 3 6$ .

Как известно, $√ -- 1,4 < 2 < 1,5$ , следовательно, $√-- 12,2 < 3 2 + 8 < 12, 5$ и $√ -- 3,4 < 2 + 2 < 3,5$ . Значит, обе дроби $3√2+8 -24---$ и $√2+2 -6---$ — это также некоторые положительные меньшие $1$ числа. Следовательно, можно для удобства записать, что

0,...< m < 0,...,

то есть данное неравенство не имеет решений среди целых чисел.