Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к неоднородному линейному уравнению (на формулу вспомогательного угла)» №5

Просмотров 4 Комментарии 0

а) Решите уравнение $√2sinx+ √2 cosx = 2.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[0;π].$

а) Разделим обе части уравнения на 2:

√- √ - -2-sinx+ --2cosx= 1 2 2

Далее воспользуемся равенством

π √2 π sin 4-= 2--= cos-4

Тогда имеем:

cos πsinx+ sin πcosx= 1 ⇔ sin(x+ π-)= 1 4 4 4 x+ π-= π-+ 2πn ⇔ x= π+ 2πn, n ∈ ℤ 4 2 4

б) Отберем корни с помощью неравенств:

π 1 3 0 ≤ 4 + 2πn ≤π ⇔ −8 ≤ n≤ 8

Отсюда получаем $n= 0$ и $π x= 4.$