Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к неоднородному линейному уравнению (на формулу вспомогательного угла)» №4

Просмотров 4 Комментарии 0

а) Решите уравнение $2π ( π- ) 3π sin2x sin 5 + cos2 2 − x cos 5 = 1.$

б) Найдите все его корни из промежутка $( ) 17π; 37π . 2$

а) Заметим, что по формулам приведения:

$( ) cos2 π-− x = cos(π − 2x)= − cos2x 2$ ;

$( ) cos 3π = cos π− 2π = − cos 2π 5 5 5$ .

Следовательно, уравнение переписывается в виде

2π 2π ( 2π) sin2x sin-5 + cos2xcos-5 = 1 ⇒ cos 2x− -5 = 1 ⇒

(преобразование было сделано по формуле косинуса разности $cosα cosβ + sinαsinβ =cos(α − β)$ )

2π π- ⇒ 2x− 5 = 2πn,n∈ ℤ ⇒ x = 5 +πn,n ∈ℤ

б) Отберем корни.

π 37π 4 3 17π <-5 + πn< -2- ⇒ 165 < n < 1810

Таким образом, целыми решениями этого неравенства будут $n= 17;18$ , при которых получаются корни $86π 91π x = -5-; 5--$ .