Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к неоднородному линейному уравнению (на формулу вспомогательного угла)» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите уравнение

4sinx + 3 cosx = 5

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Разделим правую и левую части уравнения на $√ ------- 42 + 32 = 5$ :

4- 3- 5 sinx + 5 cos x = 1

Т.к. $( )2 ( )2 4- 3- 5 + 5 = 1$ , то по основному тригонометрическому тождеству следует, что существует такой угол $ϕ$ (пусть он будет из $( π) 0; -- 2$ ), что $4 --= cosϕ 5$ , а $3 --= sinϕ 5$ .

Тогда уравнение примет вид:

π- sin x cosϕ + sinϕ cosx = 1 ⇒ sin(x + ϕ) = 1 ⇒ x = 2 − ϕ + 2πn, n ∈ ℤ

Сделаем обратную подстановку: т.к. $cos ϕ = 4-⇒ ϕ = arccos 4-⇒ 5 5$

π 4 x = 2-− arccos 5-+ 2πn, n ∈ ℤ