Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к неоднородному линейному уравнению (на формулу вспомогательного угла)» №12

Просмотров 4 Комментарии 0

а) Решите уравнение

√ -- − 2 cosx = 2sinx − 6

б) Найдите все его корни, удовлетворяющие условию $|x| < 1$ .

а) Преобразуем уравнение к виду

√ -- --6- sin x + cosx = 2

Это уравнение имеет вид неоднородного линейного уравнения. Следовательно, разделим правую и левую части уравнения на $------- -- √ 12 + 12 = √ 2$ :

$√ -- √ -- √ -- √-- √1-cos x + √1--sin x = -√-6- ⇒ --2-cosx + --2-sin x = -3-- ⇒ 2 2 2 2 2 2 2$

по формуле синуса суммы $sin α cosβ + sinβ cos α = sin(α + β)$

$√ -- √-- π- π- --3- (π- ) -3-- ⇒ sin 4 cosx + cos 4 sin x = 2 ⇒ sin 4 + x = 2 ⇒$

$⌊ π π ⌊ π --+ x = --+ 2πn, n ∈ ℤ x = ---+ 2πn,n ∈ ℤ | 4 3 | 12 ⇒ ⌈ π 2π ⇒ ⌈ 5 π --+ x = ---+ 2 πm, m ∈ ℤ x = --- + 2πm, m ∈ ℤ 4 3 12$

б) Отберем корни.
Заметим, что условие $|x| < 1$ равносильно условию $x ∈ (− 1;1)$ .

− 1 < -π-+ 2πn < 1 ⇒ − 1--− -1- < n < -1- − -1- 12 2π 24 2 π 24

Заметим, что т.к. $3 < π < 4$ , то $18 < 21π < 16$ .
Следовательно, точно можно сказать, что $− 1 < − 21π − 214 < 0$ и $0 < 12π − 124 < 1$ .

Таким образом, целые $n$ , удовлетворяющие неравенству, это $n = 0$ , при котором получается корень $π x = --- 12$ .

5π 1 5 1 5 − 1 < ---+ 2πm < 1 ⇒ − ---− ---< m < ---− --- 12 2π 24 2π 24

Аналогично, $-1 -5 − 1 < − 2π − 24 < 0$ и $-1 -5 − 1 < 2π − 24 < 0$ . Таким образом, в данном случае нет целых $m$ , удовлетворяющих неравенству.