Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к неоднородному линейному уравнению (на формулу вспомогательного угла)» №11

Просмотров 4 Комментарии 0

а) Решите уравнение

√ -- cos 2x − sin 2x = 0, 5 6

б) Найдите все его корни из промежутка $[ ] − π-;π 2$ .

а) Это уравнение имеет вид неоднородного линейного уравнения. Следовательно, разделим правую и левую части уравнения на $√ ------- √ -- 12 + 12 = 2$ :

$-- -- -- -- 1 1 √ 6 √ 2 √ 2 √ 3 √--cos 2x − √---sin 2x = -√--- ⇒ ----cos2x − ---sin2x = ---- ⇒ 2 2 2 2 2 2 2$

по формуле косинуса суммы $cosα cos β − sin α sin β = cos(α + β )$

$√ -- ( ) √ -- π- π- --3- π- --3- ⇒ cos 4 cos2x − sin 4 sin 2x = 2 ⇒ cos 4 + 2x = 2 ⇒$

$⌊ π π ⌊ π --+ 2x = --+ 2 πn,n ∈ ℤ x = − ---+ πn, n ∈ ℤ ⇒ |⌈ 4 6 ⇒ |⌈ 24 π- π- 5π- 4 + 2x = − 6 + 2πm, m ∈ ℤ x = − 24 + πm, m ∈ ℤ$

б) Отберем корни.

π π 11 1 − --≤ − ---+ πn ≤ π ⇒ − ---≤ n ≤ 1--- 2 24 24 24

Таким образом, среди целых $n$ подходят только $n = 0;1$ . При этих значениях $n$ получаем корни $π 23π x = − --; ---- 24 24$ .

π 5π 7 5 − --≤ − ---+ πm ≤ π ⇒ − ---≤ m ≤ 1 --- 2 24 24 24

Таким образом, среди целых $m$ подходят только $m = 0;1$ . При этих значениях $m$ получаем корни $5π 19π x = − --; ---- 24 24$ .