Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к неоднородному линейному уравнению (на формулу вспомогательного угла)» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите уравнение $√3sin x+ cosx= 1.$

Найдем ОДЗ: $x$ — произвольное число.

Разделим левую и правую части уравнения на $∘ √--2---2 3 + 1 = 2:$

√ - --3 1 1 2 sin x+ 2 cosx = 2

Заметим, что можно принять $√3 π 1 π 2--= cos-6,2 = sin 6.$ Тогда уравнение примет вид

sinx cos π+ cosxsin π-= 1 6 6 2

По формуле синуса суммы имеем:

sin αcosβ+ sinβ cosα = sin(α+ β)

Тогда получаем уравнение

⌊ π π ⌊ ( π) 1 |x + 6 =-6 + 2πk, k ∈ℤ x1 = 2πk, k ∈ ℤ sin x + 6- = 2 ⇒ ⌈ π- 5π ⇒ ⌈x = 2π-+ 2πn, n ∈ ℤ x + 6 = 6 + 2πn, n ∈ℤ 2 3