Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению» №9

Просмотров 6 Комментарии 0

a) Решите уравнение

cos4x + cos(4x) − 0,5sin2(2x) + 15 sin2 x + sin4 x = 5cos2 x + 1.

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(0;π)$ .

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Используя формулу для косинуса двойного угла, исходное уравнение можно переписать в виде:

4 2 4 2 2 2 cos x − 0,5sin (2x) + sin x + (2cos (2x ) − 1) + 15 sin x − 5cos x − 1 = 0.

Используя формулу для синуса двойного угла, полученное уравнение можно переписать в виде:

4 2 2 4 2 2 2 cos x − 2sin x ⋅ cos x + sin x + (2 cos (2x) − 1) + 15 sin x − 5 cos x − 1 = 0.

Так как $2 2 2 2 4 2 2 4 cos (2x) = (cos x − sin x ) = cos x − 2sin x ⋅ cos x + sin x$ , то последнее уравнение можно переписать в виде:

cos2(2x) + (2cos2(2x) − 1) + 15sin2 x − 5cos2x − 1 = 0 ⇔ 2 2 2 2 ⇔ 3cos (2x) + 10 sin x + (5sin x − 5 cos x) − 2 = 0 ⇔ ⇔ 3cos2(2x) + (5sin2x − 5 cos2x ) + (10 sin2 x − 5) + 5 − 2 = 0.

Используя формулы для косинуса двойного угла, последнее уравнение можно переписать в виде:

3cos2(2x) − 10 cos(2x ) + 3 = 0.

Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно $cos(2x )$ .

Сделаем замену $cos(2x) = t$ , тогда уравнение примет вид

3t2 − 10t + 3 = 0.

Его дискриминант $D = 100 − 36 = 64$ , тогда $10 ± 8 t1,2 = ------- 6$ , откуда $t1 = 3$ , $1 t2 = -- 3$ , следовательно,
$cos(2x ) = 3$ или $cos(2x) = 1- 3$ .

Так как $cos(2x) ≤ 1$ , то $cos(2x ) = 3$ быть не может, следовательно, $cos(2x) = 1- 3$ .

Уравнение $cosy = a$ имеет решения $y = ±arccosa + 2 πk$ , где $k ∈ ℤ$ , следовательно, уравнение $cos(2x ) = 1- 3$ имеет решения, для которых выполнено $2x = ±arccos 1+ 2πk 3$ , где $k ∈ ℤ$ , тогда

1 1 x = ± -⋅ arccos--+ πk, k ∈ ℤ. 2 3

б)

0 < 1-⋅ arccos 1+ πk < π ⇔ − 1-⋅ arccos1-< πk < π − 1-⋅ arccos1 ⇔ 2 3 2 3 2 3

1 1 1 1 − --- ⋅ arccos-< k < 1 − ---⋅ arccos- 2 π 3 2π 3

Так как $1- arccos3 ∈ (0;π)$ , то $-1- 1- − 2π ⋅ arccos 3 ∈ (− 0,5; 0)$ . При этом $k ∈ ℤ$ , следовательно, среди этих решений подходит только решение при $k = 0$ : $1 1 x = 2-⋅ arccos3$ .

0 < − 1-⋅ arccos1-+ πk < π ⇔ 1-⋅ arccos1-< πk < π + 1-⋅ arccos1 ⇔ 2 3 2 3 2 3

1 1 1 1 ---⋅ arccos-< k < 1 + ---⋅ arccos- 2π 3 2π 3

Так как $1- arccos3 ∈ (0;π)$ , то $-1- 1- 2π ⋅ arccos3 ∈ (0;0,5)$ . При этом $k ∈ ℤ$ , следовательно, среди этих решений подходит только решение при $k = 1$ : $1 1 x = π − --⋅ arccos-- 2 3$ .